卜瓦松機率分配的特性¶
- 有一段連續的測驗區間
- 在這段連續測驗區間中，某事件的產生是互不影響的
- 在不同時段的測驗區間，某事件的產生是互不影響的
- 在這段連續測驗區間，某事件的平均產生次數必須是已知的
卜瓦松機率分配的定義¶
- 卜瓦松隨機變數
(Poisson random variable)
- 若隨機變數X表示一段時間裡，某種現象產生的次數，同時X的個別值x的機率公式為
$$P(X = x) = {{e^{-\lambda}\lambda^x}\over {x!}}，x = 0,1,2,...\infty$$
- 其中$\lambda$表示這段時間哩，該現象的平均產生次數，稱為平均參數值；$e = 2.71828$，稱為自然指數值
卜瓦松機率分配的平均數、變異數、標準差¶
- 平均數 : $\mu = E(X) = \lambda$
- 變異數 : $\sigma^2 = V(X) = \lambda$
- 標準差 : $\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{V(X)} = \sqrt\lambda$
卜瓦松機率分配的機率分配表¶
- 卜瓦松機率分配通常會有對應的一張表(由公式計算得來)，可以省去計算的功夫(若表上沒有擇自己計算)
- 如:$x = 4、\lambda = 1.50$時，卜瓦松機率分配的值為P(x = 4) = 0.0471
卜瓦松機率分配之腦洞時間（1）¶
- 銀行在12:00~13:00，使用提款機的客戶平均為3人/分鐘(表示$\lambda = 3$)，則
- 1分鐘內，洽有2人使用之機率為何?
- 1分鐘內，至少有2人使用之機率為何?
- 2分鐘內，洽有2人使用之機率為何?
- 3分鐘內，至多有2人使用之機率為何?
卜瓦松機率分配之腦洞時間（2）¶
- 銀行在12:00~13:00，使用提款機的客戶平均為3人/分鐘
- 設隨機變數X:每分鐘使用提款機的人數，這是一個卜瓦松分布
- 該卜瓦松機率分布的函數為
$$P(X=x) ={{e^{-\lambda}\lambda^x} \over {x!}} = {{e^{-3}3^x} \over {x!}}，x = 0,1,2,...$$
卜瓦松機率分配之腦洞時間（3）¶
- 銀行在12:00~13:00，使用提款機的客戶平均為3人/分鐘(表示 λ=3)，則
- 1分鐘內，洽有2人(表示x=2)使用之機率為何?
- 1分鐘內，至少有2人使用之機率為何?
- P(X >= 2) = 1 - P(X < 2) = 1-(0.0498-0.1494) = 0.1992
- 2分鐘內，洽有2人使用之機率為何?
- 2分鐘平均為6人($\lambda = 6$)，P(X = 2) = 0.0446
- 3分鐘內，至多有2人使用之機率為何?
- 3分鐘平均為9人($\lambda = 9$)，P(X<=2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) = 0.0062
卜瓦松機率分配之腦洞時間（1）¶
- 大學生使用行動電話，平均通話數為3通/1天($\lambda = 3$)。隨機變數X表示一天中，大學生行動電話之通話數，X屬於卜瓦松分配。問
- 每小時的平均通話數為何?
- 99%的大學生每天的行動電話通話數為何?
- 標準差 = 1.732(因為變異數=3)，99% = 3倍標準差 = 5.196
- 99%表示資料的範圍介於[3+-5.196] = (-2.196,8.196)，表示每天通話數最多為8通
卜瓦松機率分配之腦洞時間（2）¶
- 每4小時恰好打一通行動電話的機率為何?
- 每4小時的平均通話數 = 3/6 = 0.5
- 4小時恰好打一通的機率為$\lambda=0.5，P(X=1)=0.3033$
- 每12小時通話數在2至5通的機率為何?
- 每12小時的平均通話數 = 3/2 = 1.5(表示$\lambda = 1.5$)
- P(2 <= X <= 5) = 0.2510+0.1255+0.0471 + 0.0141 = 0.4377
卜瓦松機率分配之腦洞時間（1）¶
- 某雜誌任一頁排印的平均錯字為2(表示$\lambda = 2$)，則
- 在下一頁中，有0個錯字的機率為何?
- 在下一頁中，有3個或更多錯字的機率為何?
- $P(X>=3) = 1- P(X<=2) = 0.3232$
卜瓦松機率分配之腦洞時間（1）¶
- 校園每週被拋棄的腳踏車平均數量為7輛(表示$\lambda = 7$)，則
- 明天沒有腳踏車被拋棄的機率為何?
- 平均一天被拋棄的腳踏車數量為7/7=1($\lambda = 1$)
- P(X = 0) = 0.3679
- 下一星期至少有2輛腳踏車被拋棄的機率為何?
- $\lambda = 7$，P(X >= 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1-0.0009-0.0064 = 0.9927